Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (\sqrt{5 - 3 x^{2}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ como ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 10.3

Mueve ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

Paso 10.4

Multiplica $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 12

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Paso 13

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Combina fracciones.

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Paso 15.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 15.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (2 x)$

Paso 17

Simplifica los términos.

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Paso 17.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

Paso 17.2

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

Paso 17.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

Paso 17.4

Combina $\frac{- 6}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ y $x$ .

$\frac{- 6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

Paso 17.5

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

Paso 18

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.1

Factoriza $2$ de $2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})})}$

Paso 18.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})})}$

Paso 18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

Paso 19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 5 - (- 3 x^{2})}}$

Paso 20.2

Combina los términos.

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Paso 20.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 5 - (- 3 x^{2})}}$

Paso 20.2.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 5 + 3 x^{2}}}$

Paso 20.2.3

Resta $5$ de $1$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- 4 + 3 x^{2}}}$