Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.3

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + 0)$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \cdot 1$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(x + \frac{π}{2})}^{2} + 1}$