Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\cosh (5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \cosh (5 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cosh (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cosh (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cosh (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\cosh (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sinh (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\sinh (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\sinh (5 x)$ y $\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ .

$\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Combina $5$ y $\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ .

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \cdot 1$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ por $1$ .

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$\frac{5 \sinh (5 x)}{\cosh^{2} (5 x) + 1}$