Cálculo Ejemplos

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(3 x - 1)}^{2}$ como $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

Paso 2

Expande $(3 x - 1) (3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

Paso 3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Paso 4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.9

Suma $18 x - 6$ y $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

Paso 6.11

Multiplica $9 x^{2} - 6 x + 1$ por $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.5

Multiplica $18$ por $- 6$ .

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.6

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.8

Multiplica $9$ por $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.9

Resta $54 x^{2}$ de $- 108 x^{2}$ .

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.10

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.11

Suma $36 x$ y $36 x$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

Paso 7.3.12

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$