Cálculo Ejemplos

$y = 6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{2}] + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{5} - 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{5}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 (x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (x^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 (2 x)) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) (2 x))$

Paso 3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + 2 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + (2 (4 x^{5}) + 2 (- 7 x^{2})) x)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5}) x + 2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4})) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.1

Mueve $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (x^{4 + 2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.1.3

Suma $4$ y $2$ .

$6 (x^{6} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.2

Mueve $20$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$6 (20 \cdot x^{6}) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.3

Multiplica $20$ por $6$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.4.1

Mueve $x$ .

$120 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.5.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x^{6} + 6 (x^{1 + 2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{3} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.5

Mueve $- 14$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$120 x^{6} + 6 (- 14 \cdot x^{3}) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.6

Multiplica $- 14$ por $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{5} x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 (x^{1} x^{5})) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{1 + 5}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.10

Suma $1$ y $5$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{6}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.11

Multiplica $8$ por $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Paso 4.5.12

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{2} x)$

Paso 4.5.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 (x^{1} x^{2}))$

Paso 4.5.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{1 + 2})$

Paso 4.5.15

Suma $1$ y $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{3})$

Paso 4.5.16

Multiplica $- 14$ por $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} - 84 x^{3}$

Paso 4.5.17

Suma $120 x^{6}$ y $48 x^{6}$ .

$168 x^{6} - 84 x^{3} - 84 x^{3}$

Paso 4.5.18

Resta $84 x^{3}$ de $- 84 x^{3}$ .

$168 x^{6} - 168 x^{3}$