Cálculo Ejemplos

$y = \sin (2 \sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 10

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Cancela el factor común.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Reescribe la expresión.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Combina $\cos (2 x^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$