Cálculo Ejemplos

$y = \sin (2 x) \cos (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (2 x)$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3

Eleva $\sin (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 4

Eleva $\sin (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 6.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 6.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 8

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 9

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 12

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \cdot 2$

Paso 14.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$