Cálculo Ejemplos

$y = \sec (\sin (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

Paso 3.2

Reescribe $\sec (\sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Paso 3.3

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Paso 3.4

Reescribe $\tan (\sin (x))$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ por $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Paso 3.5.2

Eleva $\cos (\sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Paso 3.5.3

Eleva $\cos (\sin (x))$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

Paso 3.6

Factoriza $\cos (\sin (x))$ de $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Paso 3.7

Separa las fracciones.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ como un producto.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.9

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Paso 3.10.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ a $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Paso 3.11

Convierte de $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ a $\tan (\sin (x))$ .

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$