Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x + 3) + \ln (5)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x + 3) + \ln (5)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 3} + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $\ln (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\ln (5)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x + 3} + 0$

Paso 3.2

Suma $\frac{1}{x + 3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x + 3}$