Cálculo Ejemplos

$y = \log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 1

Como $\log (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ y $g (x) = 3 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 2 x$ .

$\log (5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 2 x$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combina $\frac{5}{2}$ y ${(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\log (5) (\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

Paso 7.2

Combina $\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $\log (5)$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \cdot 1)$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$

Paso 14.2

Reordena los factores de $\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$ .

$(6 x - 2) \frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2}$