Cálculo Ejemplos

$y = \ln (8 x^{2} - 3 x + 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 8 x^{2} - 3 x + 4$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x^{2} - 3 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 3 x + 4]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 3 x + 4]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{2} - 3 x + 4$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 3 x + 4]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - 3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3 + 0)$

Paso 2.9

Suma $16 x - 3$ y $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4} (16 x - 3)$ .

$(16 x - 3) \frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4}$

Paso 3.2

Multiplica $16 x - 3$ por $\frac{1}{8 x^{2} - 3 x + 4}$ .

$\frac{16 x - 3}{8 x^{2} - 3 x + 4}$