Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\csc (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 5

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Paso 6.2

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Paso 6.3

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Paso 6.4

Multiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Paso 6.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Paso 6.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 6.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ al numerador.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Paso 6.5.2

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Paso 6.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Paso 6.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.7

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$