Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\arctan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \arctan (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\arctan (x)}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

Paso 4.4

Factoriza $\arctan (x)$ de $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $\arctan (x)$ de $x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

Paso 4.4.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

Paso 4.4.3

Factoriza $\arctan (x)$ de $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$