Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\ln (x^{18}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x^{18})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (x^{18})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (x^{18})$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{18}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{18}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{18}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{x^{18}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{x^{18}}$ por $\frac{1}{\ln (x^{18})}$ .

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [x^{18}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 18$ .

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} (18 x^{17})$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $18$ y $\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})}$ .

$\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})} x^{17}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})}$ y $x^{17}$ .

$\frac{18 x^{17}}{x^{18} \ln (x^{18})}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x^{17}$ y $x^{18}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{17}$ de $18 x^{17}$ .

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{18} \ln (x^{18})}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $x^{17}$ de $x^{18} \ln (x^{18})$ .

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{x \ln (x^{18})}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Expande $\ln (x^{18})$ ; para ello, mueve $18$ fuera del logaritmo.

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (\ln (x))}$