Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 6 x + 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ por $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ y $6$ .

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

Paso 3.7.3

Reordena los términos.

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$