Cálculo Ejemplos

$y = \ln (5 x^{3} - 6 x) - 9 x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (5 x^{3} - 6 x) - 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) - 6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) - 6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 2.8

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9$

Paso 4

Reordena los términos.

$(15 x^{2} - 6) \frac{1}{5 x^{3} - 6 x} - 9$