Cálculo Ejemplos

$y = \ln (6 - x e^{- x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 6 - x e^{- x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 - x e^{- x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 - x e^{- x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [6 - x e^{- x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Paso 5.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{6 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Paso 6.3

Reordena los factores de $\frac{1}{6 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ .

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{6 - x e^{- x}}$

Paso 6.4

Multiplica $x e^{- x} - e^{- x}$ por $\frac{1}{6 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{6 - x e^{- x}}$

Paso 6.5

Factoriza $e^{- x}$ de $x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $e^{- x}$ de $x e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{6 - x e^{- x}}$

Paso 6.5.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{6 - x e^{- x}}$

Paso 6.5.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{6 - x e^{- x}}$