Cálculo Ejemplos

$y = \ln (e^{7 x} + 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{7 x} + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{7 x} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{7 x} + 2$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{7 x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 4.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{7 x}$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 4.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 e^{7 x} + 0)$

Paso 4.5

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Suma $7 e^{7 x}$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 e^{7 x})$

Paso 4.5.2

Combina $7$ y $\frac{1}{e^{7 x} + 2}$ .

$\frac{7}{e^{7 x} + 2} e^{7 x}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{7}{e^{7 x} + 2}$ y $e^{7 x}$ .

$\frac{7 e^{7 x}}{e^{7 x} + 2}$