Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 7.7

Combina $\sin (x)$ y $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Paso 7.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.9

Separa las fracciones.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 7.10

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

Paso 7.11

Divide $2$ por $1$ .

$- (2 \tan (x))$

Paso 7.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \tan (x)$