Cálculo Ejemplos

$y = 7^{2 x} \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7^{2 x}$ y $g (x) = \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$ .

$7^{2 x} \frac{d}{d x} [\log (7 x^{3} - 4 x + 5)] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = 7 x^{3} - 4 x + 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7 x^{3} - 4 x + 5$ .

$7^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$7^{2 x} (\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7 x^{3} - 4 x + 5$ .

$7^{2 x} (\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)}$ y $7^{2 x}$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + 0) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 3.10

Suma $21 x^{2} - 4$ y $0$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 7^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $7$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \cdot 2)$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $7^{2 x} \ln (7)$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot (7^{2 x} \ln (7)))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot 7^{2 x} \ln (7))$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$(21 x^{2} - 4) \frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} + 2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$