Cálculo Ejemplos

$y = 7^{4 x - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 7^{x}$ y $g (x) = 4 x - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - x^{2}$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - (2 x))$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$

Paso 2.7.2

Reordena los factores de $7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$ .

$7^{4 x - x^{2}} (4 - 2 x) \ln (7)$