Cálculo Ejemplos

$y = \frac{6 x}{3 - \cot (x)}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{3 - \cot (x)}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 3 - \cot (x)$ .

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $3 - \cot (x)$ por $1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \cot (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 5

Combina $6$ y $\frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 3 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (- x \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.2.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{18 - 6 \cot (x) - 6 x \csc^{2} (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza $6$ de $- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $6$ de $- 6 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $6$ de $18$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $6$ de $- 6 \cot (x)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.4.4

Factoriza $6$ de $6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.4.5

Factoriza $6$ de $6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.6

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.7

Factoriza $- 1$ de $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- \cot (x)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x))$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.10

Reescribe $- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ como $- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ .

$\frac{6 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$