Cálculo Ejemplos

$y = \frac{6 x - 7}{9 x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 6 x - 7$ y $g (x) = 9 x + 1$ .

$\frac{(9 x + 1) \frac{d}{d x} [6 x - 7] - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(9 x + 1) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(9 x + 1) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(9 x + 1) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{(9 x + 1) (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(9 x + 1) (6 + 0) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{(9 x + 1) \cdot 6 - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $9 x + 1$ .

$\frac{6 \cdot (9 x + 1) - (6 x - 7) \frac{d}{d x} [9 x + 1]}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) (9 + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) (9 + 0)}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - (6 x - 7) \cdot 9}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{6 (9 x + 1) - 9 (6 x - 7)}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (9 x) + 6 \cdot 1 - 9 (6 x - 7)}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (9 x) + 6 \cdot 1 - 9 (6 x) - 9 \cdot - 7}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $9$ por $6$ .

$\frac{54 x + 6 \cdot 1 - 9 (6 x) - 9 \cdot - 7}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{54 x + 6 - 9 (6 x) - 9 \cdot - 7}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $6$ por $- 9$ .

$\frac{54 x + 6 - 54 x - 9 \cdot - 7}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 9$ por $- 7$ .

$\frac{54 x + 6 - 54 x + 63}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $54 x + 6 - 54 x + 63$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $54 x$ de $54 x$ .

$\frac{0 + 6 + 63}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{6 + 63}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $6$ y $63$ .

$\frac{69}{{(9 x + 1)}^{2}}$