Cálculo Ejemplos

$y = \frac{9 x^{2} + 7}{x^{2} + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 x^{2} + 7$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7] - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $18$ a la izquierda de $x^{2} + 2$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $18 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{36 x + 0 - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Suma $36 x$ y $0$ .

$\frac{36 x - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Resta $14 x$ de $36 x$ .

$\frac{22 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$