Cálculo Ejemplos

$y = \frac{8 x - 3}{6 x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 8 x - 3$ y $g (x) = 6 x + 1$ .

$\frac{(6 x + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 3] - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(6 x + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(6 x + 1) (8 + 0) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{(6 x + 1) \cdot 8 - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $8$ a la izquierda de $6 x + 1$ .

$\frac{8 \cdot (6 x + 1) - (8 x - 3) \frac{d}{d x} [6 x + 1]}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) (6 + 0)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - (8 x - 3) \cdot 6}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{8 (6 x + 1) - 6 (8 x - 3)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x - 3)}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x) - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $8 (6 x) + 8 \cdot 1 - 6 (8 x) - 6 \cdot - 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $8 (6 x)$ y $- 6 (8 x)$ .

$\frac{6 \cdot 8 x + 8 \cdot 1 - 6 \cdot 8 x - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Resta $6 \cdot 8 x$ de $6 \cdot 8 x$ .

$\frac{8 \cdot 1 + 0 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Suma $8 \cdot 1$ y $0$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{8 - 6 \cdot - 3}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$\frac{8 + 18}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $8$ y $18$ .

$\frac{26}{{(6 x + 1)}^{2}}$