Cálculo Ejemplos

$y = \frac{- 8 e^{6 x}}{7 x - 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Paso 1.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{6 x}$ y $g (x) = 7 x - 2$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $(7 x - 2) e^{6 x}$ .

$- 8 \frac{6 \cdot ((7 x - 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.7

Multiplica $7$ por $1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.9

Combina fracciones.

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Paso 4.9.1

Suma $7$ y $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.9.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.9.3

Combina $- 8$ y $\frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8 ((6 (7 x) + 6 \cdot - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x} + 6 \cdot - 2 e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $7$ por $6$ .

$- \frac{8 (42 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $42$ por $8$ .

$- \frac{336 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4.1.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} + 8 (- 12 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4.1.5

Multiplica $- 7$ por $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} - 56 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Resta $56 e^{6 x}$ de $- 96 e^{6 x}$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $8 e^{6 x}$ de $336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $8 e^{6 x}$ de $336 x e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $8 e^{6 x}$ de $- 152 e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Factoriza $8 e^{6 x}$ de $8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x - 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$