Cálculo Ejemplos

$y = e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{x + 1}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

$2 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + 0))$

Paso 3.6

Suma $1$ y $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $e^{x + 1}$ por $1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$