Cálculo Ejemplos

$y = e^{2 \sin (3 x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 \sin (3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 \sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 \sin (3 x)$ .

$e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (3 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$e^{2 \sin (3 x)} (2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 \sin (3 x)}$ .

$2 \cdot e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x)$