Cálculo Ejemplos

$y = \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 1 - x + 3 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 2.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 4

Eleva $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$- 5 (\csc^{1} (1 - x + 3 x^{2}) \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2})) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 {\csc (1 - x + 3 x^{2})}^{1 + 4} (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 6

Suma $1$ y $4$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 (2 x))$

Paso 15

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 6 x)$