Cálculo Ejemplos

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{- 2}{2 x}$ y $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ y $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.4

Combina fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Reordena $2 \cos (\ln (2 x))$ y $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Paso 6.2

Reordena $\sin (\ln (2 x))$ y $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Paso 6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Paso 6.4

Simplifica $2 \ln (2 x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Paso 6.5

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Paso 6.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$