Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Combinar.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.9

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.10

Reescribe $- (x \ln (x) - x - 1)$ como $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$