Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{7}{4}}$ y $g (x) = 9 x^{6} + 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {u_{2}}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 6.2

Resta $4$ de $7$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 7

Combina $\frac{7}{4}$ y ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Paso 8

Multiplica $\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4}$ por $\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 9

Mueve ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ por ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Mueve ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{7}{4 ({(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4} + \frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{- 3 + 7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10.1.4

Suma $- 3$ y $7$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{4}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10.1.5

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 10.2

Simplifica $4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{6} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 12

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{6}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 14

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \cdot 1)$

Paso 17

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7}{4 (9 x^{6}) + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Paso 18.2

Combina los términos.

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Paso 18.2.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Paso 18.2.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$

Paso 18.3

Reordena los factores de $\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{36 x^{6} + 20 x}$

Paso 18.4

Factoriza $4 x$ de $36 x^{6} + 20 x$ .

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Paso 18.4.1

Factoriza $4 x$ de $36 x^{6}$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 20 x}$

Paso 18.4.2

Factoriza $4 x$ de $20 x$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)}$

Paso 18.4.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Paso 18.5

Multiplica $54 x^{5} + 5$ por $\frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$ .

$\frac{(54 x^{5} + 5) \cdot 7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Paso 18.6

Mueve $7$ a la izquierda de $54 x^{5} + 5$ .

$\frac{7 (54 x^{5} + 5)}{4 x (9 x^{5} + 5)}$