Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina ${(x + 2)}^{4}$ y $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{4}$ y ${(x + 2)}^{5}$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de $5 {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

Paso 3.6.2

Multiplica $\frac{5}{x + 2}$ por $1$ .

$\frac{5}{x + 2}$