Cálculo Ejemplos

$y = \log_{3} (x^{2} - 3 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{3} (x)$ y $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{3} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 3 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)}$

Paso 3.3

Factoriza $x \ln (3)$ de $x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x \ln (3)$ de $x^{2} \ln (3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) - 3 x \ln (3)}$

Paso 3.3.2

Factoriza $x \ln (3)$ de $- 3 x \ln (3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)}$

Paso 3.3.3

Factoriza $x \ln (3)$ de $x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$

Paso 3.4

Multiplica $2 x - 3$ por $\frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$ .

$\frac{2 x - 3}{x \ln (3) (x - 3)}$