Cálculo Ejemplos

$y = \log_{5} (e^{2 x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{5} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)}$ .

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 1$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{2}{\ln (5)}$ por $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)}$