Cálculo Ejemplos

$y = \log_{6} (x^{8} + x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{6} (x)$ y $g (x) = x^{8} + x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{8} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{6} (u)] \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{6} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{8} + x$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{8} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)}$

Paso 3.3

Factoriza $x \ln (6)$ de $x^{8} \ln (6) + x \ln (6)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x \ln (6)$ de $x^{8} \ln (6)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6)}$

Paso 3.3.2

Factoriza $x \ln (6)$ de $x \ln (6)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6) (1)}$

Paso 3.3.3

Factoriza $x \ln (6)$ de $x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6) (1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$

Paso 3.4

Multiplica $8 x^{7} + 1$ por $\frac{1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$ .

$\frac{8 x^{7} + 1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$