Cálculo Ejemplos

$y = e^{5 x \sin (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x \sin (x)$ .

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x \sin (x)}$ .

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Paso 5.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$