Cálculo Ejemplos

$y = e^{4 x} \ln (x^{4})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{4 x}$ y $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{x^{4}}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $4$ y $\frac{e^{4 x}}{x^{4}}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 e^{4 x} x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \cdot 4)$

Paso 5.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (4 \cdot e^{4 x})$

Paso 5.3.3

Reordena los términos.

$4 e^{4 x} \ln (x^{4}) + \frac{4 e^{4 x}}{x}$