Cálculo Ejemplos

$y = e^{x \sqrt{5 x - 3}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x - 3}$ como ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x - 3$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.3

Mueve ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Combina fracciones.

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Paso 15.1

Suma $5$ y $0$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15.2

Combina $\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 5}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 \cdot x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 17

Multiplica ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 18

Para escribir ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 19

Combina ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Multiplica ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 21.1

Mueve ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.4

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.5

Divide $2$ por $2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Simplifica la expresión.

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Paso 22.1

Simplifica ${(5 x - 3)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + (5 x - 3) \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x - 3$ .

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + 2 \cdot (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Combina $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{5 x + 2 (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x - 3))}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2

Simplifica el numerador.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.2

Suma $5 x$ y $10 x$ .

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x) + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.5

Mueve $- 6$ a la izquierda de $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 \cdot e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.6

Reordena los factores en $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3

Reordena los términos.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4

Factoriza $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 24.4.1

Mueve $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4.2

Factoriza $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4.3

Factoriza $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $- 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4.4

Factoriza $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)$ .

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x - 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$