Cálculo Ejemplos

$y = \sec^{2} (\sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Eleva $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 5

Eleva $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1} (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 12.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 14

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 15

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 16

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ y $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 17

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ y $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 18

Simplifica la expresión.

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Paso 18.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 18.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$