Cálculo Ejemplos

$y = \log_{7} (x^{4} + x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{7} (x)$ y $g (x) = x^{4} + x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{7} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + x$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$ .

$(4 x^{3} + 1) \frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)}$