Cálculo Ejemplos

$y = \sec^{3} (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 {\sec (2 x)}^{1 + 2} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5

Suma $1$ y $2$ .

$3 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$