Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Paso 1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Paso 3

Convierte de $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ a $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (3 x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Paso 7.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Paso 8.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Paso 8.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Paso 8.2.4

Combina $\sin (3 x)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Paso 8.2.5

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 8.2.6

Multiplica $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Paso 8.2.6.1

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Paso 8.2.6.2

Combina $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ y $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.3

Reescribe $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ como un producto.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.4

Escribe $\sin (3 x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.5

Simplifica.

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Paso 8.3.5.1

Divide $\sin (3 x)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.7

Multiplica $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

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Paso 8.3.7.1

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.7.2

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.8

Separa las fracciones.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 8.3.9

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Paso 8.3.10

Divide $3 \cos (3 x)$ por $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$