Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\tan (2 x) - e^{x}}{3 x - 4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \tan (2 x) - e^{x}$ y $g (x) = 3 x - 4$ .

$\frac{(3 x - 4) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) - e^{x}] - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (2 x) - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + 0)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \cdot 3}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 6.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 (\tan (2 x) - e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Expande $(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 \cdot 2 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 \cdot - 1 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) + 3 e^{x}}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Suma $4 e^{x}$ y $3 e^{x}$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 7 e^{x} - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 e^{x} x + 7 e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$