Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sinh (2 x)}{\cosh (2 x) - 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sinh (2 x)$ y $g (x) = \cosh (2 x) - 5$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sinh (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\sinh (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cosh (u_{1})$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) \cdot 2 - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $\cosh (2 x) - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cosh (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 4.2

La derivada de $\cosh (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sinh (u_{2})$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sinh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \cdot \sinh (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x) + 0)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $2 \sinh (2 x)$ y $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) \sinh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\sinh (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 7

Eleva $\sinh (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh^{1} (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 {\sinh (2 x)}^{1 + 1}}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cosh (2 x) \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.3

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1

Multiplica $2 \cosh (2 x) \cosh (2 x)$ .

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Paso 10.3.1.1

Eleva $\cosh (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.3.1.2

Eleva $\cosh (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh^{1} (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.3.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\cosh (2 x)}^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.3.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Paso 10.4

Reordena los términos.

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$