Cálculo Ejemplos

$y = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Paso 3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.2

Suma $2 \cos (x) \sin (x)$ y $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$