Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$ como ${(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = x^{6} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.4.2

Multiplica $x^{6} + 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + 0)}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.8

Combina fracciones.

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Paso 9.8.1

Suma $6 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5})}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Paso 9.8.3

Multiplica $\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{6} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 \cdot {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x^{6} + 2}{x - 3})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{6} + 2}{x - 3}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{6} + 2 + (- 6 x - 6 \cdot - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x \cdot x^{5} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5

Combina los términos.

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Paso 10.5.1

Multiplica $x$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.5.1.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.1.2

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

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Paso 10.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x^{1}) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{5 + 1} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.1.3

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.2

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.3

Resta $6 x^{6}$ de $x^{6}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.4

Multiplica $\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}}$ por $\frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}) {(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.5

Mueve ${(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6

Multiplica ${(x^{6} + 2)}^{2}$ por ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.5.6.1

Mueve ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 ({(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{2}) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.6.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5.6.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6

Reordena los términos.

$\frac{- 5 x^{6} + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.8

Factoriza $- 1$ de $18 x^{5}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.9

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5})$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.10

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.11

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.12

Reescribe $- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ como $- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x^{6} - 18 x^{5} - 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$