Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\ln (5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \ln (5 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{5 x}$ por $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ .

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ por $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

Paso 4.4

Factoriza $x$ de $x \ln^{2} (5 x) + x$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

Paso 4.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

Paso 4.4.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

Paso 4.4.4

Factoriza $x$ de $x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$