Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\tan (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 13

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $\tan (x)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \tan (x)}{2}}{x}$

Paso 14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{\tan (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$