Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 3.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

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Paso 4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) - 8 (- \sin (x))$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \sin (x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x)) - 8 \sin (x) + 8 \sin (x)$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Suma $- 8 \sin (x)$ y $8 \sin (x)$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x) + 0$

Paso 5.2.2

Suma $x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x)$ y $0$ .

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x)$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$- x^{3} \sin (x) + 3 x^{2} \cos (x) - 8 x \cos (x)$